Az intézetet 1950-ben hozták létre az MTA alkalmazott matematikai kutatóintézeteként. Mai nevét első igazgatójáról, Rényi Alfrédről kapta, aki 1970-ben bekövetkezett haláláig vezette. Az intézet kutatóinak száma 120 körül mozog, de közülük sokan több-kevesebb ideig külföldön kutatnak, és az intézet állandó jelleggel fogad vendégkutatókat.
Az intézet igazgatói:
- 1950 – 1970-ig Rényi Alfréd,
- 1970 – 1982-ig Fejes Tóth László,
- 1982 – 1992-ig Hajnal András,
- 1993 – 1995-ig Szász Domokos,
- 1996 – 2005-ig Katona Gyula O. H.,
- 2006 – 2018-ig Pálfy Péter Pál,
- 2019 óta Stipsicz András
Az intézeti munkatársak kutatási osztályokba illetve kutatócsoportokba sorolva dolgoznak, ezek területei a következők: algebra, algebrai geometria, algebrai logika és számítástudomány, approximációelmélet, differenciálegyenletek, diszkrét matematika, funkcionálanalízis, geometria, halmazelmélet, információelmélet, statisztika és statisztikus fizika, számelmélet, topológia, valószínűségelmélet. Az intézet magas szintű kutatási teljesítményét leginkább a munkatársak vezető nemzetközi folyóiratokban publikált cikkei jelzik. Kutatóink fontos szerepet játszanak mind az intézeti konferenciák, mind a Bolyai János Matematikai Társulat tudományos eseményeinek szervezésében, amelyeknek konferenciakötetei ismertek és elismertek a nemzetközi matematikai közösségen belül. 2001-ben a Rényi Intézet elnyerte az Európai Unió Center of Excellence címét.
A kutatói munkán kívül az intézet fontos kötelességének tartja a különböző szintű (alapképzéstől a doktori tanulmányokig) matematikai képzések aktív támogatását. Számos kutatónk tanít az ország különböző egyetemein, témavezetője jó néhány doktorandusznak, s az intézet ad helyszínt sok, egyetemisták számára rendezett nyári illetve téli egyetemnek. A 2001/2002-es akadémiai évtől a 2019/20 tanévig a Közép-Európai Egyetemmel közösen működött egy új PhD program.
Az intézet örömmel lát vendégül hazai és külföldi kutatókat, legyenek akár karrierjük elején, vagy tapasztaltabb kollégák. Magyar egyetemek oktatói megpályázhatják minden évben kiírt vendégkutatói álláshelyeinket. Szívesen veszünk rövidebb, a kapcsolatfelvételre és a későbbi közös munkára irányuló látogatásokat is.
Az intézetben dolgozó akadémikusok (levelező illetve rendes tagok):
- Bárány Imre (diszkrét geometria)
- Csiszár Imre (információelmélet)
- Füredi Zoltán (diszkrét matematika)
- Juhász István (halmazelmélet és topológia)
- Katona Gyula O. H. (diszkrét matematika)
- Lovász László
- Major Péter (valószínűségelmélet)
- Némethi András (algebrai geometria)
- Pach János (kombinatorikus és algoritmikus geometria)
- Pálfy Péter Pál (csoportelmélet, univerzális algebra)
- Pintz János (számelmélet)
- Pyber László (csoportelmélet és diszkrét matematika)
- Ruzsa Imre Z. (számelmélet)
- Simonovits Miklós (diszkrét matematika)
- Stipsicz András (algebrai topológia)
- Szemerédi Endre (diszkrét matematika és számítástudomány)
- Tardos Gábor (diszkrét matematika, számítógép-tudomány és kriptográfia)
- Tóth Bálint (valószínűségszámítás és statisztika)
- Tusnády Gábor (sztochasztika)