Leírás
SZTE, TTIK, Bolyai Intézet, Kerékjártó szeminárium (online)
Absztrakt. A távolság-átlag függvény a tér pontjainak átlagos távolságát méri egy rögzített halmaz elemeitől. Az átlagfüggvény szinthalmazait általánosított kúpszeletnek nevezzük, a rögzített halmaz elemeit pedig fókuszoknak. Az ún. multifokális ellipszisek (ill. ellipszoidok) például olyan geometriai alakzatok, melyek pontjaira egy véges halmaz elemeitől mért távolságok számtani közepe, azaz összege állandó. A polinomiális lemniszkáták esetében pedig a távolságok mértani közepe, azaz szorzata állandó. Átlagolás természetesen nem csupán véges fókuszsereg esetén lehetséges, az általánosítások széles skálája áll rendelkezésünkre.
Az előadásban a távolság-átlag függvény és a segítségével értelmezett általánosított kúpszeletek egy-egy alkalmazását mutatjuk be a differenciálgeometria és a geometriai tomográfia keretein belül:
- az euklideszi távolság-átlag függvény és alkalmazása (az ortogonális csoport nem tranzitív, zárt részcsoportjainak átmetrizálása),
- a taxicab távolság-átlag függvény és tomográfiai alkalmazása (síkbeli alakzatok rekonstrukciója a koordináta-tengelyekkel párhuzamos irányokban vett röntgenfüggvények alapján).