Leírás
Optimumszámítással foglalkozók körében jól ismertek minimum feladatok esetén a konvex modellek előnyös tulajdonságai.
A múlt század második felében komoly érdeklődés mutatkozott a konvexitás függvénytulajdonság lehetséges és célszerű általánosításait illetően.
Előadásomban áttekintek néhány sikeresnek bizonyult általánosítást, miközben főleg a kvázikonvex és pszeudokonvex függvények jellemzésére fókuszálok.
Kezdetben a differenciálható függvényekre vonatkozó jellemzéseket kezdték tanulmányozni. A többváltozós függvények klasszikus elméletéből jól ismert, hogy kétszer differenciálható függvények konvexitása egyenértékű a második deriváltjuk, a Hesse mátrixuk pozitív szemidefinitásával. Egyik tanulmányomban bevezetem a kvázi-Hesse mátrix fogalmát és pszeudokonvex függvények másodrendű jellemzését ismertetem a kvázi-Hesse mátrix segítségével, nevezetesen azt, hogy a pszeudokonvexitást a kvázi-Hesse mátrix pozitív szemidefinitása jellemzi. Ezt a vizsgálódásomat az [1] tanulmányban elevenítem föl.
Ismert eredmény volt, hogy differenciálható konvex függvények gradiense rendelkezik egy olyan tulajdonsággal, amit monotonotásnak neveztek. Kiderült, hogy differenciálható kvázikonvex/pszeudokonvex függvény gradiense rendelkezik egy olyan tulajdonsággal, amely a monotonitás természetes általánosításának tekinthetünk. Létrejött a kvázimonoton/pszeudomonoton operátorok elmélete. Ezek az új fogalmak aztán hasznosnak bizonyultak az Általános Egyensúlyi Problémák tanulmányozásakor. Erről a fejleményről a [2] tanulmányban adtam egy rövid ismertetést.
Tekintettel arra, hogy a konvex függvények nem szükségképpen differenciálhatóak, ezért a nemdifferenciálható általánosított konvex függvények vizsgálata is komoly figyelmet kapott. Erről a [3] tanulmányomban adok egy áttekintést.
[1] „A kvázi-Hesse mátrix”, Alk.Mat.Lapok, megjelenés alatt.
[2] „Egyensúlyi problémák egy közös matematikai modelljéről”, in: Matematikai Közgazdaságtan: elmélet, modellezés, oktatás, Tanulmányok Zalai Ernőnek, Műszaki Kiadó, Budapest, 2013, pp. 109-126.
[3] „Generalized Convexity and Generalized Derivatives”, in: N. Hadjisavvas, S. Komlósi and S. Schaible (eds.) Handbook on Genaralized Convexity and Generalized Monotonicity, Springer, New York, 2005, pp. 421 – 463.
Továbbá, csatolmányban küldöm dr. Komlósi Sándor 3 kapcsolódó tanulmányát. A kedves érdeklődők ezekből készülhetnek az előadásra.