Leírás
Az egyensúlyfeladat ma ismert matematikai megfogalmazása Nikaido és Izoda 1955-ben megjelent [6] cikkére vezethető vissza, melyben a Nash-féle egyensúlypontok létezését vizsgálták. Később Ky Fan [4], valamint Brézis, Nirenberg és Stampacchia [3], közölték az első kulcsfontosságú eredményeket e feladattal kapcsolatban.
Az egyensúlyfeladat elnevezés Muu és Oettli-től [5] származik, míg Blum és Oettli [2] átvették azt, valószínűleg azért, mert egyenértékű több olyan ismert feladat egyensúlypontjainak meghatározásával, mint az optimalizáció, nyeregpontos feladatok (melyek szoros kapcsolatban állnak a játékelmélettel, ezen keresztül pedig a matematikai gazdaságtannal), variációs egyenlőtlenségek, fixpont feladatok, stb.
Előadásom három fő részből áll. Előbb megfogalmazom az általános feladatot és több, fontos sajátos esetet mutatok be, néhány példa/alkalmazás kíséretében. Kétfajta bizonyítási technika figyelhető meg ami a klasszikus egyensúlyfeladatra vonatkozó létezési tételeket illeti : a fixponttételekre alapozó (ú.n. KKM) módszer, és a szeparációs (Hahn-Banach féle) módszer. Az előadás második részében röviden illusztrálom ezen technikákat egy-egy, a szakirodalomból kiragadott tétel segítségével. Végül, az előadás harmadik részében megmutatom, hogyan lehet az egyensúlyfeladatot használni a vektor optimalizáció keretében. Ez a rész egy frissen közölt cikkünkre [1] alapszik.
1. M. Bianchi, G. Kassay and R. Pini: On a sufficient condition for weak sharp efficiency in multiobjective optimization J. Optim. Theory Appl., 178 (2018), 78-93
2. E. Blum and W. Oettli, From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, Math. Student 63 (1994), 123-145
3. H. Brézis, L. Nirenberg and G. Stampacchia, A remark on Ky Fan's minimax principle, Boll. Unione Mat. Ital. 6(4) (1972), 293-300
4. K. Fan, A minimax inequality and application, In: Inequalities III, Edited by O. Shisha, Academic Press, New York, pp. 103-113 (1792)
5. L. D. Muu and W. Oettli, Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria, Nonlinear Anal. 18 (1992), 1159-1166
6. H. Nikaido and K. Isoda, Note on noncooperative convex games, Pacific J. Math. 5 (1955), 807-815