Leírás
Az extremális halmazrendszerek témakörének egyik legkorábbi eredménye
volt [Sperner, 1928], hogy ha egy $n$ elemű alaphalmaz egy $\mathcal{F}$
halmazrendszerének semelyik két tagja nem tartalmazza egymást, akkor
$\mathcal{F}$-nek legfeljebb $\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$ eleme
lehet. Egy $\mathcal{F}$ halmazrendszert $d$-uniónak nevezünk, ha
bármely két tagjának az uniója legfeljebb $d$ méretű. Millner [1968] ma
már szintén klasszikusnak számító eredménye, hogy ha egy $\mathcal{F}$
Sperner-rendszer $d$-unió, akkor legfeljebb $\binom{n}{\lfloor d/2
\rfloor}$. Matas Sileikis 2014-ben egy Millneréhez hasonló problémát
vetett fel: mi mondható $\mathcal{F}$-ről abban az esetben, ha a kéttagú
unió helyett a szimmetrikus differencia méretére teszünk hasonló
kritériumot? (A szimmetrikus differenciák maximumát $\mathcal{F}$
átmérőjének nevezzük). Fő eredményünk ennek a kérdésnek a
megválaszolása: Frankl Péter megmutatta, hogy minden rögzített $d$-re
létezik egy olyan $n_0(d)$ küszöb, hogy ha $n > n_0(d)$, akkor egy $n$
elemű alaphalmaz $d$ átmérőjű Sperner-rendszereinek a maximuma szintén
$\binom{n}{\lfloor d/2 \rfloor}$, továbbá egyenlőség csak abban az
esetben áll fenn, ha $\mathcal{F}$ minden tagja $\lfloor d/2 \rfloor$
vagy minden tagja $\lceil d/2 \rceil$ méretű.