Leírás
Ágoston Tamással közös kutatásunkról fogok beszámolni.
Steiner (1848) azt állította, hogy 5 adott (általános helyzetű) kúpszeletet 6^5 kúpszelet érint, hiszen egy kúpszelet érintése hatodfokú feltétel. Később de Jonquières (1859) és Chasles (1864) mutatta meg, hogy a helyes válasz valójában 3264. Steiner nem vette figyelembe, hogy a kettős egyenesek is kúpszeletek, melyek minden kúpszeletet érintenek algebrai értelemben. A megoldási módszerekből a modern algebrai geometria fontos fogalmai nőttek ki, például az excess intersection elmélet. Precíz bizonyítást végül Fulton és MacPherson adott 1978 körül.
Persze mindannyian a komplex (projektív) sík kúpszeleteiről értekeztek, mert az sokkal könnyebb általában, mint a valós eset. De azt nem lehet lerajzolni! Egy valós leszámlálási feladat megoldása viszont nem egy szám, hanem számok egy listája, amikre felső becslés a komplex megoldásszám, és a paritás mindig megegyezik a komplex megoldásszámmal (pl hány gyöke van egy általános n-edfokú polinomnak?)
Ronga, Tognoli és Vust publikálta először, hogy a 3264 elérhető valós kúpszeletekkel. Ágoston Tamás szakdolgozatában talált más megoldásszámokat is, melyek mind oszthatók voltak 64-gyel. Más valós leszámlálási feladatokban is felbukkan ez a jelenség, hogy a megoldásszámok valamilyen kettő-hatvánnyal térnek el, ezért természetesnek tűnt a sejtés, hogy minden megoldásszám 64-gyel osztható. Az előadásban elmesélem annak izgalmas történetét, hogy kerültünk egyre messzebb és messzebb ettől a sejtéstől.
A valós leszámlálási elméletnek még nem alakult ki kiforrott elmélete. Minden feladat más ötleteket igényel, gyakran elemi geometriai gondolatok segítenek. Az előadás nagy részében ilyen geometria ötletekről lesz szó, melyek előismeretek nélkül is könnyen érthetőek, többek között egy elemi indoklást is elmondok, hogy miért pont 3264. Az előadás végén fogok beszélni arról, hogy milyen modern elméletekre volt szükség (szingularitás-elmélet, Welschinger-invariáns), ahogy a kutatás haladt előre.