Description
Matematikai Tudományos Bizottság rendezvénye / Számelmélet
MTA Székház Nagyterem
2026. január 22. csütörtök
levezető elnökök: Tóth Bálint, Hajdu Lajos, Freud Róbert
10:00 - 10:10 Megnyitó: Páles Zsolt
10:10 - 10:50 Pintz János: Híres megoldatlan problémák a prímszámok elméletében
Az előadásban 6 témakörben említünk híres megoldatlan problémákat és ezekre elért részeredményeket a prímszámokra vonatkozóan. Közös bennük, hogy ellentétben a Mersenne és Fermat-féle prímekre vonatkozó problémákkal a prímek ezekben csak lineárisan szerepelnek. Ezek közül a 2.-5. problémák a Landau 1912-es kongresszusi előadásában említett ún. Landau problémák.
1) A Riemann-sejtés, amelyet a matematika Szent Gráljaként is említenek egyike a Hilbert által 1900-ban említett 24 problémának és a 7 millenniumi problémának is. Ez a tulajdonképpen a komplex Riemann-féle zeta-függvény gyökeire vonatkozó sejtés ekvivalens egy elemileg megfogalmazható problémával a prímszámok eloszlására vonatkozóan.
2) A Goldbach sejtés 1742-ben fogalmazódott meg Euler és Goldbach levelezésében, mely szerint a 2-nél nagyobb páros számok előállnak két prím összegeként.
3) Az Encyclopedia Britannica már az ókori görögök idejére teszi az ikerprímek problémáját, mely szerint végtelen sokszor fordul elő, hogy két szomszédos páratlan szám egyaránt prím.
4) Landau következő problémája is már többször hasonló alakban megfogalmazódott. Az ő megfogalmazása szerint bizonyítsuk be, hogy bármely két szomszédos négyzetszám között található prímszám.
5) Ha p a prímszámokon fut végig, akkor p-1 végtelen sokszor vesz fel négyzetszám értékeket.
6) Az utolsó témakör (valamelyest ellentétben az előző 5 konkrét problémával) a prímszámok eloszlásában vett szabálytalanságokra vonatkozó több problémát takar, amelyek már Dirichlet és Riemann munkáival hozzávetőleg azonos időszakban, 1850 körül Csebisev munkáiban megfogalmazódtak és többek közt Turán Pál dolgozataiban nyertek a XX. század 50-es és 60-as éveiben részleges megoldást.
10:55 - 11:15 Kávészünet
11:15 - 11:55 Győry Kálmán: Eredmények és problémák a diofantikus számelméletben
Bár Magyarországon korábban is születtek kiemelkedő eredmények a diofantikus számelméletben (pl. Erdős-Selfridge tétel), a szervezett diofantikus kutatások az 1970-es években kezdődtek Debrecenben Győry Kálmán vezetésével. Azóta debreceni központtal egy ma már nemzetközileg ismert és elismert, diofantikus számelmélettel foglalkozó kutatócsoport jött létre, mely sok kiemelkedő, esetenként úttörő jellegű eredménnyel, új módszerekkel és fontos alkalmazásokkal gazdagította a területet. Az előadásban a fő kutatási irányok és néhány alapvető fontosságú eredmény rövid bemutatására kerül sor.
A csoport kezdettől fogva foglalkozik egységegyenletekkel és tetszőleges ismeretlenszámú széteső forma egyenletekkel, különféle általánosításaikkal és széleskörű alkalmazásaikkal. Idevágó effektív végességi tételeikkel jelentős áttörést értek el a diofantikus algebrai számelméletben (elsőként szolgáltatva általános algoritmust számtestek hatvány egész bázisainak és kanonikus számrendszereinek meghatározására) és az adott diszkriminánsú egész együtthatós polinomok effektív redukciós elméletében. Közben megoldották Hermite, Delone, Nagell, Lang, Narkiewicz és mások egy-egy régi problémáját. Kiemelkedő szerepet játszottak a számtestek feletti effektív, valamint a Z feletti algoritmikus számelmélet kidolgozásában és alkalmazásaiban. Hatékony módszert dolgoztak ki számtestek feletti effektív végességi eredmények kiterjesztésére Z felett végesen generált alaptartományok esetére. Rendkívül fontos eredményeket értek el több nevezetes problémával (Skolem sejtés, ternér exponenciális egyenletek megoldásszáma) kapcsolatban.
12:00 - 12:40 Pach Péter Pál: Számtani sorozatok: az Erdős-Turán sejtéstől a polinom módszerig
Erdős egyik legismertebb kérdése, az Erdős-Turán sejtés azt állítja, hogy ha pozitív egészek egy sorozatának reciprokösszege végtelen, akkor a sorozat tartalmaz tetszőlegesen hosszú számtani sorozatot. A sejtés gyengébb változatát, amely pozitív sűrűségű halmazokra vonatkozik, Roth az 1950-es években háromtagú, majd Szemerédi a 1970-es években tetszőlegesen hosszú sorozatokra igazolta. A sejtés erősebb, ritka halmazokra vonatkozó változatát háromtagú sorozatokra a közelmúltban bizonyították, négy vagy több tag esetében azonban továbbra is nyitott.
Az előadásban áttekintést adunk ezekről az eredményekről, valamint tárgyaljuk a kérdés véges testek feletti változatait is. A süveghalmaz-probléma (cap set problem) például azt vizsgálja, mekkora lehet a háromelemű test feletti vektortér egy olyan részhalmaza, amely nem tartalmaz háromtagú számtani sorozatot. Bemutatjuk a polinom módszer új változatát, amely e problémában áttörést hozott, és megemlítjük néhány további alkalmazását is, többek között az Erdős-Szemerédi-féle napraforgó sejtés kapcsán.
12:45 - 14:00 Ebédszünet
14:00 - 14:35 Harcos Gergely: Automorf formákkal egy ókori feladat nyomában
Diophantosz Aritmetikájában szerepel a következő feladat (V. könyv, 11. feladat): Bontsuk fel az egységet három olyan pozitív részre, amelyek mindegyikét hárommal megnövelve egy racionális szám négyzetét kapjuk. Az előadás első felében az automorf formák szépségét és mélységét igyekszem bemutatni a fenti feladaton keresztül. Az előadás második felében pedig néhány kapcsolódó hazai eredményt fogok vázolni, amelyekben megint az automorf formák játsszák a főszerepet.
14:40 - 15:00 Biró András: Diofantikus approximáció
Az előadásban a teljesség igénye nélkül igyekszem felvillantani magyar matematikusok néhány diofantikus approximációval és egyenletes eloszlással kapcsolatos eredményét. Szó lesz például T. Sós Vera egy adott irracionális szám többszöröseinek eloszlásáról, diszkrepanciájáról szóló tételeiről, és a Turán-féle hatványösszeg módszerről is.
15:05 - 15:20 Kávészünet
15:20 - 15:35 Sárközy András: A számelmélet helye a világ matematikájában, és főleg a magyar számelmélet hozzájárulása ahhoz az utolsó 200 évben
A számelmélet a XX. század elejéig. Gauss, Kronecker, Hardy mondása a számelméletről. Hardy és a társszerzés. Az MTA és a matematika kapcsolata. Magyarországon a kiegyezés után a „polgári fejlődés” hatására az oktatás színvonalának emelkedése, matematikai folyóiratok, tanulmányi versenyek. Tehetségek feltűnése, köztük Erdős és Turán, sokan emigráltak, sokan meghaltak később a II. világháborúban. Neumann János, számítógépek, számelmélet. A II. világháború után Turán hazatérését és Erdős sűrű hazalátogatását követően erős számelméleti iskola kialakulása először Budapesten, majd röviddel ezután Debrecenben. Mindezt itt a mai előadások is igazolják. Néhány szó a következő előadás témájáról.
15:35 - 16:05 Gyarmati Katalin: Pszeudovéletlen bináris sorozatok kvantitatív megközelítése
A pszeudovéletlen sorozatoknak rengeteg gyakorlati alkalmazása van, gondolhatunk itt a kriptográfiára vagy Monte-Carlo módszerekre. Előadásomban Christian Mauduit és Sárközy András az 1990-es évek második felében bevezetett elméletet követve bejárom a terület főbb állomásait, ismertetve a legfontosabb definíciókat, tételeket, konstrukciókat és eljárásokat. Az előadás második felében a gyakorlati alkalmazásokra koncentrálok 3 példán keresztül. Ezekben a társszerzőkkel közös eredményekben megmutatom, hogyan generálható egyetlen erős pszeudovéletlen mértékekkel rendelkező sorozatból számos további. Vizsgálom, hogy miért fontos, és hogyan biztosítható, hogy a konstrukció alapjául szolgáló polinom kvázi-véletlen legyen ugyanakkor a pszeudovéletlen mértékek optimálisak legyenek. Végül bevezetek egy olyan új konstrukciót, mely nem egy, hanem 3 különböző polinomot is használ, így növelve a biztonságot az alkalmazásokban.
16:10 - 16:30 Kávészünet
16:30 - 18:00 Szemerédi Endre, Ruzsa Imre: Erdős Pál néhány kedvenc problémájáról
Az előadásban egy érdekes és rendhagyó időutazásra invitáljuk a hallgatóságot: néhány olyan klasszikus probléma kerül terítékre a számelmélet és a kombinatorikus geometria területéről, melyek (saját bevallása szerint) Erdős Pál kedvenc problémái közé tartoztak. Elsőként maga Erdős Pál szól hozzánk, az 1993-ban a Gólyavárban tartott, méltán nagy sikert aratott előadásával. Erdős számos neves (és akkor még megoldatlan) problémát sorakoztat fel: szól például a különböző részhalmaz összegek kérdéséről, lefedő kongruenciákról, Landau nevezetes, prímszámokkal kapcsolatos problémáiról és a Fermat-sejtésről. Igen ám, de 32 év még a matematikában is (viszonylag) nagy idő! Mi Erdős néhány kérdésének az utóélete? Mit sikerült bizonyítani azóta ezeken a területeken? Az előadás második részében ezekre a kérdésekre keressük a választ a témakörök világszinten vezető
kutatóival, Szemerédi Endrével és Ruzsa Imrével, akik Erdős kedvenc problémáiból szemezgetnek, és felvillantják néhány kérdés hátterét, bemutatják a témakörök fejlődését.
18:00 - 18:30 Kérdések, kötetlen beszélgetés