Description
Minden $M$ összefüggő, kompakt, irányítható, sima 4-sokasághoz hozzárendelhető a hipervéges $II_1$ típusú Neumann-algebra
egy reprezentációja. Ennek mint bal-Neumann-algebra modulusnak az algebra feletti dimenziója (vagy másneven Murray--Neumann csatolási
állandója) az $M$ egy sima invariánsa, melynek érteke a $[0,1)$-intervallumba esik. Az invariáns érdekes tulajdonsága, hogy
$[0,1)$-beli értekkészlete természetes módon felhasad egy diszkrét és egy folytonos komponensre. Az alábbi észrevételeket tesszük:
(i) az invariáns értéke a standard $S^4\subset{\mathbb R}^5$ gömbön $0$ és ez a diszkrét tartományba esik;
(ii) minden más eddig kiszámolt esetben az invariáns értéke az értékkészlet folytonos tartományába esik;
(iii) az invariáns varhatóan folytonos abban az értelemben, hogy amennyiben egy $x_0\in[0,1)$ folytonos tartományba eső elem fölött az invariáns nem injektív, akkor az $x_0$-hoz közeli $x$ pontokban sem lesz az;
(iv) az invariáns $0$ feletti injektivitása ekvivalens a 4 dimenziós sima Poincaré-sejtéssel.
Mindezek fényében úgy tűnik, hogy az $S^4$ (mint sima struktúrával ellátható topológikus tér) az új invarians szempontjából élesen
elválik a többi sima 4-sokaságtól, ami érdekes megvilágításba helyezi a 4 dimenziós sima Poincaré-sejtés körüli nehézségeket.