Pethő Attila: Variations on a theme of Mahler

For an integer $n$ denote $(n)_g$ the sequence of digits of the
$g$-ary representation of $n$. K. Mahler proved in 1981 that the
number $0.(1)_{h}(g)_{h}(g^2)_{h}\ldots$ is irrational for any $g,h\ge
2$. It has many generalizations and refinements. Here we prove further
generalizations. In the first direction we replace the sequence of
powers by weighted sums of elements of a finitely generated
multiplicative semigroup of a number field. In the second direction,
the base $g$ is replaced by an algebraic integer. As a byproduct, we
prove a Mahler-type result replacing the sequence of powers by a fixed
coordinate of solutions of a norm form equation.