Description
Egy $\mathbb{R}^d$-beli $X$ halmazt $k$-rangú antipodálisnak
hívunk, ha bármely $k+1$ pontjához $q_1,\ldots q_{k+1}\in X$ található
$\mathrm{conv}(X)$-nek olyan affin leképezése $\Delta_k$-ra, a
$k$-dimenziós simplexre, amelynél $q_1,\ldots q_{k+1}$ képe a $k+1$
csúcs. A definíciót kvantuminformációelméleti (pontosabban egy
,,általános valószínűségelméletbeli'') meggondolás motíválja. A $k=1$
eset éppen a Klee által bevezetett antipodalitás.
Klee kérdésének természetes általánosítását vizsgáljuk: Mi egy $k$-rangú
antipodális halmaz maximális elemszáma $\mathbb{R}^d$-ben? Bemutatjuk
$k$-rangú antipodális halmazok egy karakterizációját, továbbá Danzer és
Grünbaum csodálatos, klasszikus (a $k=1$ esetet megoldó) bizonyításának
adaptációját, melynek segítségével a dimenzióban exponenciális felső
korlátot kapunk. Ugyanakkor a kérdés kapcsolódik egy klasszikus
számítástudományi feladathoz, ,,tökéletes hash kódok'' kereséséhez,
amely kapcsolódást felhasználva egy a dimenzióban exponenciális alsó
korlátot kapunk. Szilágyi Zsomborral és Weiner Mihállyal közös munka.