Description
Kivonat:
Egységgömbök sűrű elhelyezése euklidészi terekben már több évszázados probléma, például rácsszerű elhelyezések a számelmélethez kapcsolódnak, és az első jelentős eredmények többek között Lagrange és Gauss nevéhez fűződnek. Az előadás a nem rácsszerű elhelyezésekről fog szólni, de az eddig ismert legnagyobb sűrűségértékeket ebben az esetben is rácsszerűek produkálják. A síkon a problémát lenyegében Axel Thue oldotta meg még 1892-ben (megoldás a háromszögrács), és a teljes megoldás Fejes Tóth László nevéhez fűződik az 1940-es években. Fejes Tóth László munkásságának köszönhető, hogy a legsűrűbb gömbelhelyezések problémája a matematika egyik központi kérdésévé vált.
Három dimenzióban nincsen "legszimmetrikusabb rács" (mint a háromszögrács a síkon), és itt Thomas Hales csak számítógépes algoritmusokra építve tudta megmutatni 2000 körül, hogy a Kepler által sejtett, a kora-újkori ágyúgolyók elhelyezését kiterjesztő rácsszerű gömbelhelyezés legsűrűbb. Magasabb dimenziókban Cohn és Elkies úgynevezett "lineáris programozási" korlátja teszi lehetővé a legnagyobb sűrűségérték meghatározását olyan dimenziókban, ahol található nagy szimmetriacsoporttal rendelkező rács, például az E8 a 8 dimenzióban, vagy a Leech rács a 24 dimenzióban. Ehhez bizonyos tulajdonságú analitikus függvényt kell találni, ami ebben a két dimenzióban Maryna Viazovska (Fields medált érő, a moduláris fomák elméletét, tehát számelméletet használó) munkásságának nyomán sikerült.