József Solymosi: On the directions determined by a Cartesian product in an affine Galois plane

We show that the number of directions contained in a set of the form
A×B⊂AG(2,p)  is at least |A||B|−min{|A|,|B|}+2. Here A and B are
subsets of GF(p) each with at least two elements and |A||B| main tool is the use of the Rédei polynomial with Szőnyi's
extension. As a corollary we show that if A ⊂ GF(p) is a set such
that A − A ⊂ G_d ∪ {0}, for some multiplicative subgroup G_d of
size d, then |A|(|A| − 1) ≤ d. This gives an upper bound of
(sqrt(2p − 1) + 1)/2 on the clique number of the Paley graph, the
same bound obtained recently by Hanson and Petridis.

(Joint work with Daniel Di Benedetto and Ethan White)