1. Csoportok, részcsoportok, homomorfizmusok

1. Definíció: Egy csoport áll egy G alaphalmazból, és három rajta értelmezett műveletből: Ezektől a műveletektől megköveteljük a következő azonosságokat:
  1. a(bc)=(ab)c
  2. aa 1 =a 1 a=1
  3. a1 =1 a=a
2. Megjegyzés: Egy csoportnak lehet geometriai alakja is: lásd a 5/1. Lie csoportok definícióját.

Egy rögzített középpont körüli síkbeli vagy térbeli forgatások között értelmezhető egy kétváltozós művelet: a kompozíció (azaz két forgatás szorzata az a transzformáció, amikor mindkét forgatást egymás után végrehajtjuk, ez ismét forgatás lesz). Ezzel a szorzással a forgatások csoportot alkotnak: egy forgatás inverze az ugyanazon tengely körüli vissza-forgatás, az egységelem pedig a 0 fokos forgatás, azaz a helyben hagyás. A forgatásokat megadhatjuk geometriailag: a forgás tengelyével és szögével. Vagy választhatunk egy (ortonormált) koordinátarendszert, és megadhatjuk a forgatásokat a mátrixukkal. A forgatások mátrixai éppen az 1 determinánsú ortogonális mátixok.

(A)
Példák csoportokra

A másik jegyzetben részletesen írtam ezekről a csoportokról, rengeteg feladattal. Ezek egy része órán is szerepelt. Érdemes elolvasni a következő fejezeteket: síkbeli forgatások, síkbeli egybevágóságok, térbeli forgatások, mátrix csoportok, Poincaré és Lorentzcsoport.

3. Definíció:
Abel csoport
Egy csoport a és b eleme felcserélhető, ha ab=ba. A csoport kmmutatív, vagy másképpen Abel csoport, ha bármely két eleme felcserélhető.
I. Feladat: Keresd meg, hogy az (A) Listán melyek az Abel csoportok!
4. Definíció: Egy G csoport részcsoportja egy olyan HG részhalmaz, amelyik zárt a G-beli műveletekre. Világos, hogy H is csoport, ugyanazokkal a műveletekel. Jelölése: HG.
5. Megjegyzés: Ha a csoportunk Lie csoport, akkor elsősorban a zárt részcsoportokkal és a diszkrét részcsoportokkal fogunk foglalkozni, hiszen ezeknek van geometriai jelentése.
6. Definíció:Egy g csoportelem rendje az a legkisebb pozitív n, amelyre g n=1 . Ha nincs ilyen kitevő, akkor g végtelen rendű. Egy H részcsoport rendje pedig a részcsoport elemszáma.
II. Feladat:Lásd be, hogy egy g elem rendje megegyezik az általa generált g részcsoport rendjével.
III. Feladat: Határozd meg a sík forgáscsoportjának, S 1 -nek véges részcsoportjait! Van-e ezeken kívül más zárt részcsoport?
IV. Feladat: Határozd meg n zárt részcsoportjait!
V. Feladat: Milyen alakú mátrixok alkotnak részcsoportot GL(n,)-ben?
VI. Feladat: Határozd meg a sík mozgáscsoportjának véges részcsoportjait! Van-e ezeken kívül más zárt részcsoport? Adj meg minél több zárt részcsoportot!
VII. Feladat: Határozd meg SO(3 ) véges részcsoportjait! Van-e ezeken kívül más zárt részcsoportja?
7. Definíció: Legyenek G és H csoportok. Egy ϕ:GH leképezés homomorfizmus, ha művelettartó, azaz teljesíti a következő azonosságokat: Figyelem! Az azonoságok bal oldalán a G-beli műveleteket kell használni, a jobb oldalon viszont a H-belieket. A ϕ leképezés izomorfizmus, ha homomorfizmus, és invertálható. Ha van G és H között izomorfizmus, akkor azt mondjuk, hogy G és H izomorf csoportok, jelölésben: GH.
8. Megjegyzés: Ha a csoportunk Lie csoport, akkor általában a folytonos homomorfizmusok érdekelnek minket, azoknak van geometriai, fizikai jelentése.
9. Definíció: Egy ϕ:GH csoport homomorfizmus képe az összes phi(g) elem halmaza, ahol gG tetszőleges. Ez egy részcsoport H-ban, jelölése ϕ(G), vagy im(ϕ). A ϕ homomorfizmus magja pedig az olyan gG elemek halmaza, amelyekre ϕ(g)=1 . Ez egy részcsoport (sőt, normálosztó G-ben. Jelölése: ϕ 1 (1 ), vagy ker(ϕ).
10. Definíció: Legyen G egy csoport, AG pedig egy részhalmaz. A G csoport centruma az olyan elemek halmaza, amelyek felcserélhetők G minden elemével. Az A halmaz centralizátora az olyan G-beli elemek halmaza, amelyek felcserélhetők A minden elemével.
VIII. Feladat: Lásd be, hogy egy csoport centruma mindig részcsoport! Lásd be, hogy a centrum Abel csoport!
IX. Feladat: Lásd be, hogy egy csoport minden részhalmazának a centralizátora részcsoport!
X. Feladat: Keresd meg az (A) Listán szereplő csoportok centrumát!