1. Csoportok, részcsoportok, homomorfizmusok

1. Definíció: Egy csoport áll egy

G

alaphalmazból, és három rajta értelmezett műveletből:

szorzás: kétváltozós, jelölése általában $(a, b) \to a b$
inverz elem: egyváltozós, jelölése általában $a \to a^{- 1}$
egységelem: nullaváltozós, jelölése általában $1$

Ezektől a műveletektől megköveteljük a következő azonosságokat:

$a (b c) = (a b) c$
$a a^{- 1} = a^{- 1} a = 1$
$a 1 = 1 a = a$

2. Megjegyzés: Egy csoportnak lehet geometriai alakja is: lásd a 5/1. Lie csoportok definícióját.

Egy rögzített középpont körüli síkbeli vagy térbeli forgatások között értelmezhető egy kétváltozós művelet: a kompozíció (azaz két forgatás szorzata az a transzformáció, amikor mindkét forgatást egymás után végrehajtjuk, ez ismét forgatás lesz). Ezzel a szorzással a forgatások csoportot alkotnak: egy forgatás inverze az ugyanazon tengely körüli vissza-forgatás, az egységelem pedig a $0$ fokos forgatás, azaz a helyben hagyás. A forgatásokat megadhatjuk geometriailag: a forgás tengelyével és szögével. Vagy választhatunk egy (ortonormált) koordinátarendszert, és megadhatjuk a forgatásokat a mátrixukkal. A forgatások mátrixai éppen az $1$ determinánsú ortogonális mátixok.

(A)

Példák csoportokra

Egy rögzített középpont körüli síkbeli vagy térbeli forgatások csoportja, a szorzás a kompozíció. Jelölés: síkban $SO (2)$ vagy $S^{1}$ , térben pedig $SO (3)$ .
Síkbeli vagy térbeli eltolások csoportja, a szorzás a kompozíció. Jelölés: síkban $ℝ^{2}$ , térben $ℝ^{3}$ . Ha csak egész koordinátájú vektorokkal engedjük meg az eltolást, akkor pedig a $ℤ^{n}$ csoportot kapjuk.
Szabályos sokszög szimmetriái, a szorzás a kompozíció.
Szabályos test szimmetriái, a szorzás a kompozíció.
Sík egybevágóságai, szorzás a kompozíció. A mozgatások, azaz az irányítástartó egybevágóságok, szintén csoportot alkotnak.
A térbeli egybevágóságok, szorzás a kompozíció. Térbeli mozgatások, szorzás a kompozíció.
$n$ dimenziós valós vagy komplex vektorok az összeadásra nézve. Jelölés: $ℝ^{n}$ illetve $ℂ^{n}$
Nem nulla valós vagykomplex számok, a szorzásra nézve. Jelölés: $ℝ^{*}$ , illetve $ℂ^{*}$ .
$n \times n$ méretű valós illetve komplex invertálható mátrixok csoportja, a mátrix szorzással. Ezekre koordináta-mentesen is gondolhatunk: mint az $n$ dimenziós valós illetve komplex vektortés lineáris transzformációinak csoportja. Jelölés: $GL (n, ℝ)$ illetve $GL (n, ℂ)$ . Vegyük észre, hogy $GL (1, ℝ) = ℝ^{*}$ és $GL (1, ℂ) = ℂ^{*}$ .
$n \times n$ -es valós, vagy komplex átlós mátrixok, vagy más szóval diagonális mátrixok csoportja, a mátrix szorzással. Egy mátrix átlós, ha a főátlón kívüli elemek mind nullák.
$n \times n$ -es valós, vagy komplex felső háromszög mátrixok csoportja, a mátrix szorzással. Egy mátrixot felső háromszög mátrixnak mondunk, ha a főátló alatti elemei mind nullák.
Az olyan $n \times n$ -es valós, vagy komplex felső háromszög mátrixok csoportja, amelyekben a főátlóban csupa $1$ áll.
Egy determinánsú $n \times n$ -es valós vagy komplex mátrixok csoportja, a mátrix szorzással. Másképpen: a térfogat-tartó lineáris transzformációk csoportja. Jelölés: $SL (n, ℝ)$ illetve $SL (n, ℂ)$ . Ha pedig csak egész mátrixokat engedünk meg: $SL (n, ℤ)$ .
$n \times n$ -es ortogonális mátrixok csoportja, a mátrix szorzással. (Csak valós mátrixokkal.) Jelölés: $O (n)$ .
Egy determinánsú, $n \times n$ -es ortogonális mátrixok csoportja, a mátrix szorzással. (csak valós mátrixokkal.) Jelölés: $SO (n)$ .
$n \times n$ -es unitér mátrixok csoportja, a mátrix szorzással. (Csak komplex mátrixokkal.) Jelölés: $U (n)$ .
Egy determinánsú $n \times n$ -es unitér mátrixok csoportja, a mátrix szorzással. (Csak komplex mátrixokkal.) Jelölés: $SU (n)$ .
$ℝ^{n}$ -beli egyenestartó, azaz affin transzformációk csoportja. Egy affin transzformációt megadhatunk pl. egy lineáris transzformáció és egy eltolás kompozíciója. Vagy másképpen: az $n$ dimenziós oszlopvektorok végére odaírunk még egy $n + 1$ -edik $1$ -es koordinátát,ezt hívjuk homogén koordináta rendszernek. Ekkor az $L$ lineáris transzformációból ( $n \times n$ -es mátrix) és $v$ eltolásból ( $n$ hosszú oszlop vektor) álló affin transzformáció nem más, mint az $(\begin{matrix} L & v \\ 0 & 1 \end{matrix})$ blokk-mátrixszal (ez $(n + 1) \times (n + 1)$ -es) való szorzás. Íme: $(\begin{matrix} L & v \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} L x + v \\ 0 x + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} L x + v \\ 1 \end{matrix})$
Lorentz transzformációk csoportja. Poincaré transzformációk csoportja. A Lorentz csoport elemei azok a lineáris transzformációk, amelyek megőrzik a négyestávolságot. Jelölés: síkban $O (1,1)$ , négy dimenzióban $O (1,3)$ . A jelölés a négyestávolság képletében szereplő pozitív és negatív előjelek számát mutatja.
Egy $X$ halmaz összes saját magába menő invertálható leképezése, szorzás a kompozíció. Az ilyen leképezéseket az $X$ halmaz transzformációinak, vagy permutációinak is hívjuk, a csoportot pedig szimmetrikus csoportnak nevezzük.

A másik jegyzetben részletesen írtam ezekről a csoportokról, rengeteg feladattal. Ezek egy része órán is szerepelt. Érdemes elolvasni a következő fejezeteket: síkbeli forgatások, síkbeli egybevágóságok, térbeli forgatások, mátrix csoportok, Poincaré és Lorentzcsoport.

3. Definíció:

Abel csoport

Egy csoport

a

és

b

eleme felcserélhető, ha

ab = ba

. A csoport kmmutatív, vagy másképpen Abel csoport, ha bármely két eleme felcserélhető.

I. Feladat: Keresd meg, hogy az (A) Listán melyek az Abel csoportok!

4. Definíció: Egy

G

csoport részcsoportja egy olyan

H \subseteq G

részhalmaz, amelyik zárt a

G

-beli műveletekre. Világos, hogy

H

is csoport, ugyanazokkal a műveletekel. Jelölése:

H \leq G

5. Megjegyzés: Ha a csoportunk Lie csoport, akkor elsősorban a zárt részcsoportokkal és a diszkrét részcsoportokkal fogunk foglalkozni, hiszen ezeknek van geometriai jelentése.

6. Definíció:Egy

g

csoportelem rendje az a legkisebb pozitív

n

, amelyre

g^{n} = 1

. Ha nincs ilyen kitevő, akkor

g

végtelen rendű. Egy

H

részcsoport rendje pedig a részcsoport elemszáma.

II. Feladat:Lásd be, hogy egy

g

elem rendje megegyezik az általa generált

⟨ g ⟩

részcsoport rendjével.

III. Feladat: Határozd meg a sík forgáscsoportjának,

S^{1}

-nek véges részcsoportjait! Van-e ezeken kívül más zárt részcsoport?

IV. Feladat: Határozd meg

ℝ^{n}

zárt részcsoportjait!

V. Feladat: Milyen alakú mátrixok alkotnak részcsoportot

GL (n, ℝ)

-ben?

VI. Feladat: Határozd meg a sík mozgáscsoportjának véges részcsoportjait! Van-e ezeken kívül más zárt részcsoport? Adj meg minél több zárt részcsoportot!

VII. Feladat: Határozd meg

SO (3)

véges részcsoportjait! Van-e ezeken kívül más zárt részcsoportja?

7. Definíció: Legyenek

G

és

H

csoportok. Egy

ϕ : G \to H

leképezés homomorfizmus, ha művelettartó, azaz teljesíti a következő azonosságokat:

$ϕ (ab) = ϕ (a) ϕ (b)$
$ϕ (a^{- 1} = ϕ (a)^{- 1}$
$ϕ (1) = 1$

Figyelem! Az azonoságok bal oldalán a

G

-beli műveleteket kell használni, a jobb oldalon viszont a

H

-belieket. A

ϕ

leképezés izomorfizmus, ha homomorfizmus, és invertálható. Ha van

G

és

H

között izomorfizmus, akkor azt mondjuk, hogy

G

és

H

izomorf csoportok, jelölésben:

G \approx H

8. Megjegyzés: Ha a csoportunk Lie csoport, akkor általában a folytonos homomorfizmusok érdekelnek minket, azoknak van geometriai, fizikai jelentése.

9. Definíció: Egy

ϕ : G \to H

csoport homomorfizmus képe az összes

phi (g)

elem halmaza, ahol

g \in G

tetszőleges. Ez egy részcsoport

H

-ban, jelölése

ϕ (G)

, vagy

im (ϕ)

. A

ϕ

homomorfizmus magja pedig az olyan

g \in G

elemek halmaza, amelyekre

ϕ (g) = 1

. Ez egy részcsoport (sőt, normálosztó

G

-ben. Jelölése:

ϕ^{- 1} (1)

, vagy

\ker (ϕ)

10. Definíció: Legyen

G

egy csoport,

A \subseteq G

pedig egy részhalmaz. A

G

csoport centruma az olyan elemek halmaza, amelyek felcserélhetők

G

minden elemével. Az

A

halmaz centralizátora az olyan

G

-beli elemek halmaza, amelyek felcserélhetők

A

minden elemével.

VIII. Feladat: Lásd be, hogy egy csoport centruma mindig részcsoport! Lásd be, hogy a centrum Abel csoport!

IX. Feladat: Lásd be, hogy egy csoport minden részhalmazának a centralizátora részcsoport!

X. Feladat: Keresd meg az (A) Listán szereplő csoportok centrumát!