ERC pályázatának egyik alapgondolata, hogy az extremális kombinatorika klasszikus feladatainak egy része kezelhetővé válik, ha olyan halmazrendszerek vizsgálatára szorítkozunk, melyek geometriai vagy algebrai módszerekkel egyszerűen definiálhatók, például beágyazhatóok egy alacsony dimenziós euklideszi térbe, Vapnik-Chervonenkis dimenziójuk korlátos vagy leirhatók korlátos fokú polinomok segítségével. Ez a megközelítés vezetett több fontos speciális esetben az Erdős-Hajnal sejtés és Schur problémájának megoldásához. Hasonló módszerekkel sikerült hatékony algoritmusokat kidolgozni sűrű gráfok kevés metszéssel való lerajzolására is.

A kombinatorika a matematikai alapvető tudományága, amelynek tanulmánya soha nem látott növekedést tapasztalt az elmúlt évtizedekben. Gyors fejlődése részben az extrém kombinatorika látványos alkalmazásával magyarázható az additív számelméletben, az információelméletben, az elméleti informatikában és másutt. A szélsőséges és a valószínűségi kombinatorika aszimptotikus eredményei hatékony eszköznek bizonyultak hatalmas hálózatok, például az internetes grafikon, az agytérképek, a szociális hálózatok és az integrált áramkörök strukturális és algoritmikus elemzésében. Mély, jól kidolgozott algebrai, topológiai és valószínűségi technikákkal rendelkezünk a modern kombinatorika néhány alapvető problémájának kezelésére, de sok klasszikus Ramsey-, Turán- és Szemerédi-típusú kérdés nyitva maradt.

A kutatás fő célja a grafikonok és hipergráfok nagy csoportjainak geometriai, algebrai és gyakorlati alkalmazásokban felmerülő nehéz problémáinak feltárása és megoldása. Ezek a struktúrák elkerülik a "dimenzió átkát ” (curse of dimensionality): beágyazódhatnak egy korlátozott dimenziós térbe, vagy kicsi a VC dimenziójuk, vagy rövid algebrai leírásuk van. A vezető kutató, munkatársai és hallgatóinak segítségével elvégzett munkája jelentős szerepet játszott a modern kombinatorikus eszközök geometriában való bevezetésében. Jelen projektben a fordítotva tárja fel a prolémát: geometriai technikák kifejlesztése és alkalmazása közismerten nehéz kombinatorikai problémák fontos speciális eseteinek rendezésére (1) korlátos fokú félig algebrai grafikonokon és hipergráfokon, (2) grafikonokon és a korlátozott hipergráfjain. VC-dimenzió, (3) rendezett grafikonok, 0-1 mátrixok és gráfok beágyazva a síkba vagy más felületekbe. A javaslatban leírt problémák feltárása várhatóan közelebb vezet néhány klasszikus probléma megoldásához, mint például az Erdős-Hajnal feltevés, a Danzer-Rogers feltevés, a Schur-Erdős probléma, valamint a továbbfejlesztett algoritmusok tulajdonságvizsgálathoz hatalmas grafikonokban.