Kovács Edith: Többdimenziós eloszlások összefüggés alapú modellezése

Új típusú többdimenziós valószínûség eloszlások szerkesztése és azok empirikus adatokhoz történõ illesztése számos alkalmazási terület alapproblémáját jelenti. Az elmúlt néhány esztendõ során olyan módszereket dolgoztunk ki, amelyek a komponensek között fennálló feltételes függetlenségeket felderítve illesztenek diszkrét többdimenziós eloszlásokat az empirikus adatokhoz.

Folytonos többdimenziós valószínûség eloszlások esetén a komponensek közti kapcsolatok modellezésének bevált eszköze a kopula függvény. Ez az extrémitásokban is lehetõvé teszi a megfelelõ valószínûségmodellezést. Erre a célra sok kétdimenziós kopula családot fejlesztettek ki és azok hatékony illesztési módszereit is kidolgozták. Ezek között sok olyan család is van, amely többdimenziós esetre is általánosítható. Ezek azonban az együttes valószínûségi eloszlás minden kétváltozós peremeloszlására egyfajta összefüggésthoznak létre, melyet ráadásul csak néhány paraméter befolyásol. A valóság azonban ennél sokkal többszínû összefüggési struktúrákat képes mutatni, olyanokat például, amelyekben akár a páronkénti összefüggési struktúrák is különbözhetnek.

Az elsõ olyan többdimenziós eloszlás konstrukciót, amelybenegyszerre több páronkénti kopulát használtak föl, Joe vezette be 1996-ban. Késõbb 2002 és 2003-ban Bedford és Cooke rájöttek, hogyan lehet egy többdimenziós sûrûségfüggvényt fa-gráfok sorozatának megfelelõen, páronkénti kopula-sûrûségfüggvények segítségével fölírni. Ezeket a kopulákat az egymásra épülõ faszerkezet miatt vine-kopuláknak nevezték el. Minden egyes sûrûségfüggvényt nagyon sokféleképpen lehet ilyen módon fölírni. Ha azonban függetlenségek vagy feltételes függetlenségekfedezhetõk fel, a képlet egyszerûsödik. Tehát olyan fa-sorozatot kell keresni, amelybõl ezek a feltételes függetlenségek felismerhetõk és kihasználhatók. Czadó és munkatársai elõállítottak ugyan olyan többdimenziós kopula függvényeket, amelyekben a függetlenségek, illetve feltételes függetlenségekmeglétét is felhasználták, azonban ezt heurisztikusan és nem elég hatékony módon tették.

Jelen elõadásunkban megmutatjuk, hogy egy általunk korábban bevezetett módszer, hogyan alkalmazható speciális vine-kopulák, a truncated-vine-kopulák meghatározására.

Az elõadás végén egy portfólió optimalizálási feladaton bemutatjuk a diszkrét valószínûség eloszlásra kidolgozott módszertan alkalmazását is.