Kavics formák evolúciója térben és idõben

Domokos Gábor (BME) és Gary W. Gibbons (Cambridge, DAMPT)

Miért laposak a parti kavicsok? Léteznek-e gömbtõl eltérõ attraktív formák a kavicsok alakfejlõdésében? Ilyen, és hasonló, nyilvánvaló geometriai kérdésekre régóta keresik a választ, elsõként talán Arisztotelész állított fel erre vonatkozó matematikai modellt. Mindazonáltal, még a közelmúlt modern matematikai modelljei sem tudtak kielégítõ választ adni. Ezen modellek közül jelentõségében és általánosságában kiemelkedik a konvex testek ütközéses kopását leíró Bloore-féle parciális differenciálegyenlet

v= 1+2bH+cK,

H az átlaggörbület K pedig a Gauss-görbület, b és c pedig konstansok. Bár az egyes tagokról sokat tudunk (többek között az idõbeli limesz geometriákat is ismerjük) a lineáris kombinációjukat tartalmazó Bloore egyenletr?l szinte semmi sem ismert.

Munkánkban ezen egyenlet egy nagyon egyszerû, heurisztikus közelítését vizsgáljuk, mely a felület kopását egy ellipszoid tengelyeinek rövidülésére redukálja.

A modell egyik elõnye, hogy alacsony dimenziós dinamikára vezet melyben a globális viselkedés egzakt módon leírható. Ennél is lényegesebb elõnye, hogy a Bloore-egyenlet által leírt egyéni kopás (egy kavics kopik egy homogén környezetben) fogalma helyett természetes módon vezet a kölcsönös kopás fogalmához (két kavics koptatja egymást) és ezen keresztül a kavics-populációk alakfejlõdésének statisztikus fizikai tárgyalásához, mely nem csak a lokális, de a globális hatásokat (pl. kavicsok méret szerinti szegregációja) is tartalmazza.

A heurisztikus modell viselkedését összevetettük az eredeti Bloore-egyenlet numerikus szimulációjával és laborkísérletekkel is. Sikerült megmutatnunk nemtriviális, attraktív (lapos) formák létezését súrlódás és szegregáció mellett.