5. Lie csoportok, Lie algebrák

A másik jegyzet kicsit más szemszögből vizsgálja a Lie csoportokat. Ezzel a fejezettel párhuzamosan érdemes áttekinteni a következő részeit:

Egy kis analízis: differenciálszámítás, érintő, differenciálegyenletek, Picard-Lindelöf tétel, vektormező folyama, részsokaság, inverz függvény tétel, mátrix Lie csoportok.
Exponenciális függvény: csoportműveletek deriváltja, exponenciális függvény, egyparaméteres részcsoportok, Lie algebra.
Mátrix csoportok: Kiszámolja sok-sok Lie csoport Lie algebráját.

1. Definíció:

Lie csoport

Egy

G

sokaságot, ami egyúttal csoport is, és a csoportműveletek végtelen sokszor differenciálható függvények, Lie csoportnak mondunk.

2. Definíció: Legyen

G

egy Lie csoport. Egy

H \leq G

részcsoportot zárt részcsoportnak mondunk, ha egyszerre részcsoport, és zárt halmaz. Akkor pedig, ha minden

h \in H

pontnak van olyan környezete, amelyben

h

az egyetlen

H

-beli pont, diszkrét részcsoportnak nevezzük. Lie csoportok között folytonos homomorfizmusnak nevezzük azokat a homomorfizmusokat, amelyek egyúttal folyonos függvények.

Sok-sok Lie csoportot találsz a másik jegyzet Mátrix csoportok fejezetében. Mivel mindegyik megadható egyenletekkel, könnyen látható, hogy mindannyian zárt részcsoportok $GL (n, ℝ)$ -ben. Cartan alábbi tételéből következik, hogy valóban Lie csoportok.

3. Tétel:

Cartan tétele

Egy Lie csoport zárt részcsoportja mindig részsokaság - tehát maga is Lie csoport. Egy zárt részcsoport pontosan akkor diszkrét, ha

0

dimenziós. Lie csoportok között minden folytonos homomorfizmus végtelen sokszor differenciálható.

4. Definíció:

egyparaméteres részcsoport

Legyen

G

egy Lie csoport. A

ϕ : ℝ \to G

folytonos homomorfizmusokat egyparaméteres részcsoportnak hívjuk. Cartan tétele miatt

ϕ

végtelen sokszor differenciálható. Fontos: az egyparaméteres részcsoport nem csak egy részcsoport, de paraméterezve is van! Ha ugyanezt a részcsoportot másképpen paraméterezzük, akkor egy másik egyparaméteres részcsoportot kapunk.

Először a mátrix Lie csoportokat, $GL (n, ℝ)$ zárt részcsoportjait vizsgáljuk.

5. Tétel:

egyparaméteres részcsoportok GL(n,R)-ben

Minden

A \in gl (n, ℝ)

mátrix meghatároz egy egyparaméteres részcsoportot:

t \to e^{tA}

A

mátrix az egyparaméteres részcsoport generátora. Így megkapjuk

GL (n, ℝ)

minden egyparaméteres részcsoportját.

6. Definíció: Cartan tétele szerint

GL (n, ℝ)

zárt részcsoportjai Lie csoportok. Ezeke mátrix Lie csoportoknak hívjuk. Egy mátrix Lie csoport Lie algebrája nem más, mint az

1

pontbeli érintő tere, a

0

-ba eltolva. Ez egy altér az összes mátrixok terében,

gl (n, ℝ)

-ben. Sőt, zárt a Lie zárójel műveletre, tehát nem akármilyen altér, hanem rész Lie algebra.

7. Tétel: Legyen

G \leq GL (n, ℝ)

egy zárt részcsoport, és

g \leq gl (n, ℝ)

a Lie algebrája. Minden

A \in g

mátrix egy

t \to e^{tA} \in G

egyparaméteres részcsoportot generál. Ez megfordítva is igaz: minden

G

-beli egyparaméteres részcsoportot egy

g

-beli mátrix generál: a részcsoport (mint görbe) érintő vektora az

1

pontban.

8. Megjegyzés: A 7. Tétel könnyen következik a Picard-Lindelöf tételből: az egyparaméteres részcsoportot leíró differenciálegyenletnek van megoldása

GL (n, ℝ)

-ben is és

G

-ben is, és az egyértelműség miatt ez a két megoldás egy és ugyanaz. Azt is könnyen láthatjuk, hogy az érintőtér valóban Lie algebra (Lásd az 6. Definíciót). Ehhez a Mátrixok Lie zárójelét kell kifejezni a csoportműveletekkel. Az exponenciális leképezés hatványsorából leolvasható:

[A, B] = \lim_{t \to 0} \frac{\log (e^{tA} e^{tB} e^{- tA} e^{- tB})}{t^{2}}

9. Megjegyzés: A 7. Tétel mutatja, hogy egy

G \leq GL (n, ℝ)

zárt részcsoport Lie algebrája pontosan azokból az

A

mátrixokból áll, amelyekre

e^{tA} \in G

minden

t \in ℝ

számra. Ezt azonban elég leellenőrizni

0

-hoz közeli

t

értékekre, hiszen azok generálják az egész

e^{tA}

csoportot. Erről szól a következő tétel:

10. Tétel: Legyen

G \leq GL (n, ℝ)

egy zárt részcsoport, jelölje

g \leq gl (n, ℝ)

a Lie algebráját. Ha az exponenciális függvény a

g

alteret teljes egészében a

G

csoportba viszi, és fordítva,

G

egységelemhez közeli elemeinek logaritmusa

g

-ben van. Tehát az exponenciális függvény egy-egy értelmű megfeleltetést ad

g

nullához közeli elemei és

G

egységelemhez közeli elemei között. Ezért

g

-t úgy is kiszámolhatjuk, hogy a

G

csoport

1

-hez közeli elemeinek a logaritmusát vesszük: ezek kifeszítik a

g

alteret.

(A)

Invariáns vektormezők

Legyen $G$ egy Lie csoport, $ϕ : ℝ \to G$ , $t \to ϕ (t)$ pedig egy egyparaméteres részcsoport. Most úgy gondolunk $G$ -re, mint egy sokaságra, $ϕ$ pedig egy görbe ebben a sokaságban.
A $ϕ (t)$ görbe érintője az $1 \in G$ pontban nem más, mint $ϕ$ deriváltja $t = 0$ -ban. Mivel a görbe a csoportban halad, ez $G$ -nek is érintő vektora.
Tetszőleges $g \in G$ pontból kiindul a $γ_{g} : t \to ϕ (t) g$ görbe. Ennek érintővektora $t = 0$ -ban egy $Φ (g)$ vektor a $g$ pontban. Ez megad egy $Φ$ vektormezőt a $G$ sokaságon.
Az első pontban a $γ_{1}$ görbét vizsgáltuk, az érintővektora nem más, mint $Φ (1)$ .
Vizsgáljuk a $g$ -vel való (jobboldali) szorzást, mint egy $R_{G} : G \to G$ , $R_{g} (h) = hg$ transzformációt. Világos, hogy a $γ_{h}$ görbe transzformáltja éppen a $γ_{hg}$ görbe. Ezért a transzformációnk a $Φ$ vektormezőt saját magába transzformálja.
Általában, invariáns vektormezőnek hívjuk az olyan vektormezőt, amelyet az előző pontban leírt $R_{g}$ transzformációk mindegyike saját magába transzrormálja.
Legyen $A$ egy tetszőleges $G$ -t érintővektor az $1 \in G$ pontban. Az $R_{g}$ transzformációk segítségével minden $g \in G$ pontba eltranszformálhatjuk, tehát minden $1$ -beli érintővektor egyértelműen kiterjeszthető egy invariáns vektormezővé.
Könnyen ellenőrizhető, hogy a $Φ$ vektormező nem csak a $g$ pontban érinti a $γ_{g}$ görbét, hanem a görbe minden pontjában. Tehát a $Φ$ vektormezővel megadott differenciálegyenletnek a $g$ kezdőpontból kiinduló megoldása éppen a $γ_{g}$ görbe.
Fordítva: a differenciálegyenletekre vonatkozó Picard-Lindelöf tétel mutatja, hogy a $Φ$ vektormező egyértelműen meghatássozza a $γ_{g}$ görbéket, és így a $ϕ (t) = γ_{1} (t)$ egyparaméteres részcsoportot is.
Általában: ha $Ψ$ egy tetszőleges invariáns vektormező $G$ -n, akkor megoldhatjuk a hozzá tartozó differenciálegyenletet, igy kapunk egy görbesereget, és egy egyparaméeres részcsoportot is.
Legyenek $V$ és $W$ tetszőleges vektormezők, alkalmazzuk rájuk és a $[V, W]$ vektormezőre az $R_{g}$ transzformációt. Világos, hogy $R_{g} ([V, W]) = [R_{g} (V), R_{g} (W)]$ . Ezért invariáns vektormezők Lie zárójele is invariáns.
Az invariáns vektormezők egy Lie algebrát alkotnak: az összes vektormezőből álló (végtelen dimenziós) Lie algebra részalgebráját.

Ezt összefoglalva:

11. Definíció:

Lie csoportok Lie algebrája

Egy

G

Lie csoport Lie algebrája a rajta értelmezett invariáns vektormezők Lie algebrája. Az (A) számítás mutatja, hogy ez azonosítható az

1

pontbeli érintővektorok terével, és az egyparaméteres részcsoportok halmazával is.

12. Megjegyzés: Legyen

G

egy Lie csoport,

g

a Lie algebrája. Minden

A \in g

elemhez tartozik egy

ϕ_{A} : ℝ \to G

egyparaméteres részcsoport. Az

A \to ϕ_{A} (1)

leképezést exponenciális leképezésnek hívjuk, jelölése:

\exp : g \to G

. Könnyen látható, hogy mátrix Lie csoportokra ez valóban a jól ismert mátrix exponenciális függvény. A Hausdorff-Campbell-Baker-formula is érvényes minden Lie csoportra.

13. Tétel: Minden véges dimenziós Lie algebra izomorf egy Lie csoport Lie algebrájával. (Általában több ilyen Lie csoport is van.)

Lie csoportok és Lie algebrájuk kapcsolata.

(B)

Lie csoport - Lie algebra kapcsolata

Legyen G egy összefüggő Lie csoport, g a Lie algebrája!
$G$ pontosan akkor kommuatív, ha $g$ az.
$G$ egyértelműen meghatározza $g$ -t. Fordítva: ugyanez a $g$ Lie algebra több Lie csoportnak is lehet a Lie algebrája. De van közöttük egy "legnagyobb" (egyszeresen összefüggő) $\tilde{G}$ , és az összes többi ennek a faktorcsoportja: $G \approx \tilde{G} / N$ . Az $N$ normálosztóról is sokat lehet tudni: kommutatív, $\tilde{G}$ centrumában van, és diszkrét.
Legyen $H$ egy másik Lie csoport, $h$ a Lie algebrája. Minden $ϕ : G \to H$ folytonos homomorfizmus meghatároz egy $g \to h$ Lie algebra homomorfizmust (ami nem más, mint $ϕ$ deriváltja az egységelemben). Fordítva: minden $g \to h$ Lie algebra homomorfizmus meghatároz egy $\tilde{G} \to H$ homomorfizmust, ahol $\tilde{G}$ jelöli a $g$ Lie algebrájú egyszeresen összefüggő Lie csoportot.
Minden $H \leq G$ zárt részcsoport Lie algebrája részalgebra $g$ -ben. Fordítva: minden $h \leq g$ részalgebra meghatároz egy $\tilde{H} \to G$ folytonos homomorfizmust, ahol $\tilde{H}$ jelöli a $h$ Lie algebrájú egyszeresen összefüggő Lie csoportot. A homomorfizms képe nem feltétlenül zárt!
Minden $N ◃ G$ zárt normálosztó Lie algebrája ideál $g$ -ben. Fordítva: minden $n ◃ g$ ideál meghatároz egy $\tilde{N} \to G$ folytonos homomorfizmust, ahol $\tilde{N}$ jelöli az $n$ Lie algebrájú egyszeresen összefüggő Lie csoportot. A homomorfizmus képe normálosztó, de nem feltétlenül zárt!